看见生活中的指数

问题背景

有一款升级打怪的游戏。人物登记从第 0 级开始，升到第 1 级需要 10 点经验值。接下来每升一级需要的经验值都是前一个等级的 2 倍。

你需要计算前 10 级需要的经验值，并把结果填写在下面的表格中。

关键思考

1. 在计算的过程中，有没有一个不断重复的动作？
2. 如果要算第 20 级需要的经验值，你还愿意一项一项算吗？
3. 如果用一个符号来表示“连续乘很多次 2”，会不会更方便？

从这个问题出发进行思考，可以自然地引入指数的概念。但是，如果问题只是到这里是不够的，还需要把指数用起来。

我们可以接着思考下面的问题：

1. 次方怎么做运算？换句话说，它的加减乘除有没有规律？
2. 指数可以为负数吗？如果可以，怎么做计算？
3. 指数可以是分数和小数吗？如果可以，怎么做计算？

我们不直接讲概念。类似地，需要设计一些问题，用问题把我们带入指数的世界。

项目结构

我写了一个项目手册（具体不在这里展示）。这个手册设计了用于启发指数这个概念的一些问题。通过研究这些问题，我们能够理解指数，并且看见它的作用。

下面是这个项目的基本结构。

1. 研究指数的基本形式 $a^n$。
2. 研究指数的乘法规律 $a^m \times a^n = a^{m+n}$。
3. 定义负指数 $a^{-n}$。
4. 研究指数的除法规律 $a^m\div a^n = a^{m-n}$。
5. 定义分数指数 $a^{1/n}$ 以及小数指数。
6. 考虑一些生活中的应用问题。

我给两个例子。

1. 计算银行的存款利息。假如你的本金是 10000 元，存入银行的年利率是 3%。算一下前五年，你在银行的存款有多少钱。第 $n$ 年你有多少钱。
2. 电池在充电和使用过程中会逐渐衰减。新电池充满电的总电量是100%。每一年都会只剩下原来的80%。你算一下每年电池的总电量。用一个公式来描述。

这是生活中常见的问题。通过研究这些问题，我们能进一步理解指数的意义和用法。